HWPS!

Q. tan 1°は有理数か。

知人に出されて社内で少しだけ話題になった。

検索するといっぱい出てくるけど、おいらはこんな解き方をした。ぐぐってないよ！

tan1° が有理数と仮定し、 tan1° = r とする。
r = sin1°/cos1° であるから r cos1° = sin1° - (1)

ところでドモアブルの定理より

(cos1°+ i sin1°)^30 = cos30° + i sin30°

左辺に(1)を代入して

(cos1°+ i sin1°)^30 = (cos1°+ i rcos1°)^30  
                      = {cos1°(1 + ir)}^30
                      = (cos1°)^30 * (1 + ir)^30  - (2)
ここで (1 + ir)^30 の実部、虚部は それぞれ有理数の多項式に展開される。
有理数の多項式は有理数であるため、以下のように表せる。
(cos1°+ i sin1°)^30 = (cos1°)^30 * (A + iB)  [ただしA,Bは有理数] - (2')

一方右辺は
cos30° + i sin30° = √3/2 + i 1/2  - (3)

ここで (2') と (3) の実部と虚部を比較して

(cos1°)^30 * A = √3/2 - (4)
(cos1°)^30 * B = 1/2   - (5)

A, B は有理数であるため、
(4) より (cos1°)^30 は 無理数
(5) より (cos1°)^30 は 有理数
この2つの結論は矛盾しているため、最初の tan1° が有理数という仮定は誤り。

以上から tan1°は無理数である。//

30分くらいでできたんでまだ頑張れる！（何を？）

まあぐぐって出てくる解法（tan の加法定理と帰納法を使って tan30°が有理数と導く）のが簡単ですけどね。 tan の加法定理なんて覚えてなかったｗ（導出はできるけど）

http://blog.goo.ne.jp/lemon-stoism/e/fab40052016212cfdde3a7bcbd50c8ee より、

本問は「大学への数学」シリーズによると、「日本受験史上、又は世界受験史上最短の問題文」であると賞賛していた。同シリーズの解説によると、本問のように短い文章の問題は難問になりがちだが、本問は適切な難度なのが良いとのこと。また、一度受験生に解いてほしい推奨問題としても取り上げられていた。さらに、06年度京大後期数学の問題は6問中他の3題が標準問題(難度評価はB)で解けて当たり前、他の2題は難度が高く解けなくても無理はないので、本問を解けたかどうかが、合否の分かれ目になったのではないかとのこと。それらの意味において、本問は良問と評価される問題だ。

へええ。面白い。

Tags: math

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